Округлення, як відомо, це  математична операція, яка полягає в заміні числа α наближеним числом α1 із меншою кількістю значущих цифр. Число α1 вибирають так, щоб похибка округлення була якомога меншою.

У різних галузях застосовують різні методи округлення.

На уроках математики в школі традиційно округлюють методом «Округлення до найближчого цілого» (англ. rounding) — це найбільш часто вживаний метод округлення, при якому число округлюється до цілого, модуль різниці з яким у цього числа мінімальний. У загальному випадку, коли число в десятковій системі округляють до N-ого знаку, правило може бути сформульовано таким чином:

якщо N+1 знак < 5, тоді N-ий знак зберігають, а N+1 та всі наступні обнуляють;

якщо N+1 знак ≥ 5, тоді N-ий знак збільшують на одиницю, а N+1 та всі наступні обнуляють;

Наприклад: 11,9 → 12; −0,9 → −1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.

Давайте напишемо ще кілька прикладів на даний тип округлення:

Округлюємо до цілого:

1,5 → 2

2,5 → 3

3,5 → 4

4,5 → 5

5,5 → 6

6,5 → 7

Такий метод округлення використовує Python версії 2 і старі програмні компілятори, наприклад Turbo Pascal.

Але це не єдиний метод округлення. Відповідно до стандарту IEEE 754 (і 1985, і 2008 року),  основним для комп'ютерних обчислень є інший метод. Він зветься округленням до найближчого парного, банківським, статистичним, данським, Гаусовим округленням. Вважається, що банківське округлення дозволяє зменшити похибки при роботі з великими масивами даних. Подробиці можна дізнатися, завітавши на кілька років на правильну спеціальність гарного університету. Даний метод на сьогодні популярний:  наприклад, .NET Math.Round  так робить по замовчуванню,  цей метод використовує для функції стандартного округлення round() PascalABC.Net  і Python 3.

Синтаксично округлення в Python 3 здійснюється функцією round(number, ndigits), де number – число що округлюється, а ndigits - кількість знаків після коми. Наприклад:

>>>round(2.137, 2)

2.14

>>>round(1.5)

2

Ось результат такого округлення:

1,5 → 2

2,5 → 2

3,5 → 4

4,5 → 4

5,5 → 6

6,5 → 6

Саме так округлює функція round() в Python 3.

Але є і великі підводні камені, пов’язані з представленням в пам’яті комп’ютера дійсних чисел. Ось приклад:

>>>round(2.15, 1)

З точки зору округлення до найближчого парного, результат повинен бути 2.2

Python 3 вважає інакше:

>>>round(2.15, 1)

2.1

Це пов’язано з тим, як представлено число 2.15 в машинному поданні, давайте переглянемо, як воно виглядає для, наприклад, 30 знаків після коми:

>>> '%0.30f' % 2.15

'2.149999999999999911182158029987'

Тепер все зрозуміло, в такому випадку логіка округлення  Python 3 цілком зрозуміла.

Але сюрпризи при округленні дійсних чисел можуть з’являтися цілком несподівано, наприклад:

>>> round(2.15, 1)

2.1

>>> round(2.1500000000000001, 1)

2.1

>>> round(2.150000000000001, 1)

2.2

Як бачимо, камінців вистачає. Але round() – не єдина функція округлення.

В Python 3, в модулі math реалізовано ще декілька методів округлення:

math.ceil(x) – округлення до найближчого більшого числа

math.floor(x) - округлення до найближчого меншого числа

math.trunc(x) - усікає значення X до цілого.

Ось приклади, що ілюструють роботу даних функцій:

>>> import math

>>> math.ceil(1.4)

2

>>> math.floor(1.4)

1

>>> math.trunc(1.4)

1

>>> math.trunc(1.9)

1

>>> math.floor(-1.9)

-2

>>> math.trunc(-1.9)

-1

Усікти значення до цілого можна і без використання модуля math:

>>> int(1.1)

1

>>> int(1.9)

1

>>> int(-1.1)

-1

>>> int(-1.9)

-1

А для естетів, перфекціоністів, тих, хто хоче забезпечити абсолютну точність, контролювати стратегію округлення і системно керувати золотою рибкою, Python 3 має модуль decimal

Цей неймовірний інструмент має  аж вісім варіантів округлення:

ROUND_CEILING - Округлення в сторону позитивної нескінченності. Наприклад, число 2.52 буде округлено до 2.6, а число -2.58 до -2.5

ROUND_DOWN - Округлення в сторону нуля. Наприклад, число 2.58 буде округлено до 2.5, а число -2.58 - до -2.5

ROUND_FLOOR - Округлення в бік негативної нескінченності. Наприклад, число 2.52 буде округлено до 2.5, а число -2.58 до -2.6

ROUND_HALF_DOWN - Округлення в сторону від нуля, якщо частина, що округлюється,  більше половини останнього значущого розряду, в іншому випадку округлення буде виконано в сторону нуля. Наприклад, число 2.58 буде округлено до 2.6, число 2.55 буде округлено до 2.5, а число -2.58 до -2.6

ROUND_HALF_EVEN - Те ж, що і ROUND_HALF_DOWN, тільки якщо частина, що округлюється дорівнює точно половині останнього значущого розряду, результат округлюється вниз, якщо попередня цифра парна, і вгору - якщо попередня цифра непарна. Наприклад, число 2.65 буде округлено до 2.6, число 2.55 також буде округлено до 2.6

ROUND_HALF_UP - Те ж, що і ROUND_HALF_DOWN, тільки якщо частина, що округлюється, дорівнює точно половині останнього значущого розряду, результат округлюється в бік від нуля. Наприклад, число 2.55 буде округлено до 2.6, а число -2.55 до -2.6

ROUND_UP - Округлення в бік від нуля. Наприклад, число 2.52 буде округлено до 2.6, а число -2.52 - до -2.6

ROUND_05UP - Округлення в бік від нуля, якщо останній значущий розряд містить цифру 0 або 5, в іншому випадку округлення виконується в сторону нуля. Наприклад, число 2.54 буде округлено до 2.6, число 2.64 також буде округлено до 2.6

Звичайно, всі ці варіанти з’явилися в decimal не просто так  - вони мають цілком прикладний сенс. З таким інструментарієм можна реалізувати багато чого, в тому числі і популярне шкільне округлення методом «Округлення до найближчого цілого»:

import decimal as decimal

print(decimal.Decimal('2.5').quantize(decimal.Decimal('1'), rounding=decimal.ROUND_HALF_UP))

print(decimal.Decimal('3.5').quantize(decimal.Decimal('1'), rounding=decimal.ROUND_HALF_UP))

out:

3

4

Ну і можна, звичайно, написати і власну функцію округлення, якщо на то є причини. В будь-якому варіанті тема округлення дійсних чисел в Python 3 має чимало непростих аспектів. І програмістам необхідно уважно враховувати дані особливості як на етапі проектування інформаційних систем, так і при розробці стратегій їх тестування.

Розберемо задачу 8358 з e-olymp. Джерело задачі —  2018 Azerbaijan School Competition, II Stage, April 8, Problem K. На e-olimp на дату написання статті задача опублікована лише російською, тому перекладаю сам:

Середнє значення – 1

(https://www.e-olymp.com/uk/problems/8358)

Проект "Середня вага школяра школи" вирішили виконати Мамед з Самедом. Що вони будуть робити з цим числом, вони не розкривають. Вони попросили зважитися всіх учнів школи і занесли результати в таблицю. Допоможіть їм підрахувати середню вагу учнів. Але вони просять, щоб учнів з найбільшою і з найменшим вагою не враховувати. Єдине їх упущення, вони не підрахували загальну кількість учнів, але це, звичайно, не завадить вам підрахувати то, що вони просять.

Вхідні дані

У кількох рядках задані ваги учнів в кілограмах, розділених пропусками (одним або кількома) або символом кінця рядка. Читати ваги учнів до кінця введення.

Вихідні дані

Середня вага учнів школи без урахування учнів з найбільшою і найменшою вагою. Відповідь виводити з точністю до кілограм.

Ліміт часу 1 секунда

Ліміт використання пам'яті 128 MB

Вхідні дані # 1

40 23 27

  59 68 23 84 27

53 46

Вихідні дані # 1

46

В першу чергу треба врахувати, що через невідому кількість рядків вхідних даних, єдиним способом отримати  вхідні дані – це використати введення з файлу. Будемо читати рядки з файлу до тих пір, поки не закінчиться файл. Пропоную кожний рядок вхідних даних записувати в тимчасовий список, а далі елементи цього тимчасового списку додавати до основного списку. Код цієї частини програми:

inputfile = open('input.txt', 'r')

outputfile = open('output.txt', 'w')

weights = []

for line in inputfile:

    lst = [int(x) for x in line.split()]

    weights.extend(lst)

Далі ми можемо використати list comprehension з умовою, наприклад, так ефектно:

weights = [x for x in weights if x != max(weights) and x != min(weights)]

В результаті в новому списку weights будуть лише потрібні дані, всі максимальні і мінімальні ваги в новий список  weights не попадуть. Але так робити не треба, тому що це неоптимально по часу і непрофесійно на співбесіді на роботу. Річ в тому, що при кожній ітерації циклу, проходить порівняння значення елементу списку з максимальним і мінімальним елементом списку. І кожного разу python  буде обраховувати максимальне і мінімальне значення. Так як список у нас протягом обробки циклом не змінюється, то буде правильним визничити максимальне і мінімальне значення списку до циклічного перебору:

max_weights =  max(weights)

min_weights =  min(weights)

weights = [x for x in weights if x != max_weights and x != min_weights]

Зверніть увагу на інформативність змінних. В олімпіадному програмуванні часто поспішають і так змінні не називають, а дарма. Рекомендую назви змінним давати розумно, у професійному програмуванню так і роблять.

Ну і на останок, в умові задачі є округлення, це в Python дуже дискутивна тема. Як мінімум, нагадаю, що  Python версії 2 виконує так зване «арифметичне округлення», як Pascal, C++ і як на уроках математики, а Python версії 3 при використанні функції round() виконує так зване «банківське округлення» або «округлення до парного». В даній задачі тести обрані таким чином, що при здачі в Python версії 3 ніяких проблем немає, про округлення в Python 3 на «Плетиві» буде окрема стаття, а тим, хто про дива округлення чує вперше, банківське округлення в Python 3 (і не лише там) виглядає так:

>>> round(1.5)

2

>>> round(2.5)

2

>>> round(3.5)

4

>>> round(4.5)

4

>>> round(5.5)

6

>>> round(6.5)

6

>>> round(7.5)

8

>>> round(8.5)

8

І не забувайте прибиратися після себе. Принцип простий. Ви відкрили якийсь файли? Ви відкрили, вам і закривати. 

Документація третього Python вимагає так:

If you’re not using the with keyword, then you should call f.close() to close the file and immediately free up any system resources used by it. If you don’t explicitly close a file, Python’s garbage collector will eventually destroy the object and close the open file for you, but the file may stay open for a while. Another risk is that different Python implementations will do this clean-up at different times.

Успіхів! 

Розбираємо задачу.

10 20 30

60